同济大学概率论与数理统计总复*

发布于:2021-10-16 19:14:51

1、 对于任意二个随机事件 A, B , 其中 P( A) ? 0, P( A) ? 1 , 则下列选项中必定成立的是( (A) P B A ? P B A 是 A, B 独立的充分必要条件; (B) P B A ? P B A 是 A, B 独立的充分条件非必要条件; (C) P B A ? P B A 是 A, B 独立的必要条件非充分条件; (D) P B A ? P B A 是 A, B 独立的既非充分条件也非必要条件.

)

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

2、设事件 A、B 满足 P(A)=0,P(B)>0,有人给出命题: (1)A 为不可能事件; (4)A 与 B 互不相容; (2)A 与 B 相互独立;(3)P(A∪B)=P(B); (5)P(B-A)=P(B);

请写出你认为正确的命题的编号

3、 设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%,现从中随机地取出一件,结果发现 取到的这件不是三等品,在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 件下取到的这件产品是二等品的概率为 . ,在此条

4、 对任意常数 a, b, (a ? b) ,已知随机变量 X 满足 P( X ? a) ? ? , P( X ? b) ? ? . 记 p ? P?a ? X ? b ? ,则下列选项中必定成立的是 (A) p ? 1 ? (? ? ? ) ; (C) p ? 1 ? (? ? ? ) ; (B) p ? 1 ? (? ? ? ) ; (D) p ? 1 ? (? ? ? ) . ( )

5、 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? 立的常数 a ?

?5 x 4 ,0 ? x ? 1 ?0, 其它

,则使得 P( X ? a) ? P( X ? a) 成

, Y ? ?2 ln X 的密度函数为 fY ( y ) ?

.

2 2 6、如果 EX ? ?, EY ? ?, 且 X 与 Y 满足 D ? X ? Y ? ? D ? X ? Y ? , 则必有





? A? X 与 Y 独立; ? B ? X 与 Y 不相关; ? C ? D ?Y ? ? 0 ; ? D ? D ? X ? D ?Y ? ? 0.

1 n 7、 设 X 1 , X 2 ? , X n 相互独立且服从相同的分布, E ( X 1 ) ? 1, D( X 1 ) ? 3, X ? ? X i , n i ?1
则由切比雪夫不等式可得 P X ? 1 ? 1 ?

?

?



1 n 2 ? X i 依概率收敛于 n i ?1

.

8、

? X 1 ? X 2 ? X 3 ?2 设 X 1 , X 2 ? X 5 独立且服从相同的分布, X 1 ~ N ?0,1? . Y ? c .当常 ? X 4 ? X 5 ?2
时, Y 服从自由度为 的 F 分布.

数c=

9、设 P(A)=0.6,P(B)=0.8,(1)在什么条件下 P(AB)取到最大值,最大值等于多少? (2)在什么条件下 P(AB)取到最小值,最小值等于多少?

10、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫,他断言凶犯是黑人。然而,当调查 这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时, 发现受害者正确识别袭击 者肤色的概率只有 80%,假定凶犯是本地人,而在这个城市人口中 90%是白人,10%是黑人, 且假定白人和黑人的犯罪率相同, (1)问:在这位男子断言凶犯是黑人的情况下,袭击他的凶犯确实是黑人的概率是多大? (2)问:在这位男子断言凶犯是黑人的情况下,袭击他的凶犯是白人的概率是多大?

11、设随机变量 ( X 1 , X 2 ) 的联合概率函数为

X1
0 1

X2

0 0.25 0.15

1 0.10 0.15

2 0.30 0.05

定义随机变量 Z ? max( X 1 , X 2 ) .

求(1) X 1 和 X 2 的边缘概率函数; (3) ( X 1 , Z ) 的联合概率函数;

(2) Z 的概率函数; (4) E (Z ) , D(Z ) 和 cov(X 1 , Z ) .)

12、设随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为

?2, 0 ? x ? y ? 1 f ( x, y ) ? ? ?0, 其它
(1)分别求 X , Y 的边缘密度函数; (2)求 P ? 0 ? X ?

? ?

1 1 3? ? Y ? ?; 2 2 4?

(3)试问: X , Y 是否相互独立?请说明理由. (4)求 Z ? X ? Y 的概率密度函数 f Z ? z ? .

13、设随机变量 X 和 Y 相互独立且服从相同的分布, X 服从区间[0,2]上的均匀分布,记

Z ? X ?Y .

(1)求 Z 的密度函数 f ( z ) ;

(2)求 E (Z ) 和 D(Z ) .

14、某商业中心有甲、乙两家影城,假设现有 1600 位观众去这个商业中心的影城看电影, 每位观众随机地选择这两家影城中的一家,且各位观众选择哪家影城是相互独立的。问:影 城甲至少应该设多少个座位, 才能保证因缺少座位而使观众离影城甲而去的概率小于 0.01. (要求用中心极限定理求解)

15、假定某电视节目在上海市的收视率为 20%,有调查公司准备在上海市随机调查 8100 户 居民家庭,记 X 为被调查的 8100 户居民家庭中收看该电视节目的户数. (1)用中心极限定理求概率 P? ?

? X ? ? 0.20 ? 0.01 ? 的*似值; ? ? 8100 ?

(2)如果调查完成后发现 8100 户居民家庭中有 1458 户收看该电视节目,问:你会相信该电 视节目在上海市的收视率为 20%吗?请说明理由.

16、设 ( X1 , X 2 ,L

2 , X10 ) 是取自正态总体 N ( ? , 0.5 ) 的一个样本,其中 ? 未知.求概率

P(? ( X i ? ? )2 ? 4)
i ?1
2 2

10

以及

P(? ( X i ? X ) 2 ? 2.85) .
i ?1

10

(已知 ? 0.9 (10) ? 16, ? 0.25 (9) ? 11.4 )

17、设 ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) 取自总体 X 的一个样本,

X ~ N (0, ? 2 ) ,试确定常数 c ,使得

? ? ( X1 ? X 2 )2 P? ? c ? ? 0.05. 2 2 ? ( X1 ? X 2 ) ? ( X 3 ? X 4 ) ?

18、 X 1 , X 2 ? X n 是取自总体 X 的简单随机样本.总体 X 的密度函数为

?? e? x ??? ?1? , x ? e ? f ? x;? ? ? ? ,其中? 为未知参数,0<? <1. 0, 其它 ? ?
(1)求 ? 的极大似然估计 ?? ; (2) 记 ? ?

1

?

, 求参数 ? 的极大似然估计;

(3)问:在(2)中求得的 ? 的极大似然估计是否为 ? 的无偏估计?请说明理由。

19、某医疗救护中心在上午 8 点到 9 点之间接到的求助电话次数服从参数为λ 的泊松分布, 为估计参数λ 的值,现收集了该医疗救护中心 42 天里在上午 8 点到 9 点之间接到的求助电 话次数的数据,从中发现有 6 天没有接到求助电话,有 10 天接到 1 次求助电话,有 12 天接 到 2 次求助电话,有 8 天接到 3 次求助电话,有 4 天接到 4 次求助电话,有 2 天接到 5 次求 助电话,求λ 的极大似然估计值。

20、设某种材料的抗压强度 X 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,现对 10 个试验件做抗压试验,得
2

到试验数据 x1 , x 2 ,??, x10 (单位: 公斤/ m ), 并由此算出 分别求 ? 和 ? 的置信水* 0.95 的双侧置信区间.

2

? xi ? 4600 , ? xi2 ? 2124100 .
i ?1 i ?1

10

10


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