高斯消元法_实验报告

发布于:2021-08-04 08:01:13

华 中 科 技 大 学
数值分析实验报告

系、年级研究生院 2012 级 学号 姓名 类别硕士

2013 年 5 月 6 日

华中科技大学数值分析实验报告(实验 6.1)

实验 6.1
实验要求: 根据教材实验 6.1 做出相应改编:分别使用 Gauss 消元、列选主元。全选主 元的方法求解线性方程组, 分别比较三种消元方法的结果和算法的区别,并说明 主元的选取在 Gauss 消元的中的作用。 问题提出: Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是 在一个有限的浮点数集合上进行的, 如何才能确保 Gauss 消去法作为数值算法的 稳定性呢?Gauss 消去法从理论算法到数值算法,其关键是主元的选择。主元的 选择从数学理论上看起来*凡, 它却是数值分析中十分典型的问题。一般来说书 本上采用的列选主元的办法对其线性方程组进行求解的, 那么我们是否可以选择 一种行列都选取主元消去的办法来减小相应的误差呢?全主元消元法和列主元消元
法一样都是由高斯消元法演变而来。 只不过选取主元的范围有所加大。 全选主元相对于列选 主元的更加复杂化了, 因为在运算的过程中导致了元的位置发生了变化, 这样我们就不得不 追踪每个元的位置。本次实验就几个问题进行了 matlab 实验分析,比较几种计算方法的优 劣性。

实验内容: 考虑线性方程组

Ax ? b,

A ? R n ?n ,b ? R n

编制一个程序:分别能进行 Gauss 消去、列选主元 Gauss 消去、全选主元 Gauss 消去法进行解线性方程组。对三种算法所得到的结果进行比较,分析三种 计算方法的准确性。

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具体内容:
?6 1 ? ?7? ? ? ? ? ?8 6 1 ? ?15 ? (1) 取矩阵 A ? ? ? ? ? ?,b ? ? ? ? , 则方程有解 x* ? (1,1,?,1)T 。 ? ? ? ? 8 6 1? ? ?15 ? ? ? 8 6? ? ? ?14 ? ?

取 n=10、n=20 计算矩阵的条件数。分别编写利用 matlab 编写运算程序,实现 Gauss 消去、列选主元消去以及全选主元消去的方法。比较三种计算方法的运算 结果。 在列选主元的过程中分别采用每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能 小的元素作为主元或每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元, 结果又如何? 分析实验的结果。 1 采用普通 Gauss 消元法进行计算 Gauss 消去法的基本思想是,通过将一个方程乘或除某个数以及两个方程相 加减这两种运算手续, 逐步减少方程组中变元的数目,最终使某个方程只含有一 个变元,从而得出所求的解。对于 = ,Gauss 消去法的求解思路为: (1) 若11 ≠ 0,先让第一个方程组保持不变,利用它消去其余方程组中的1 , 使之变成一个关于变元2 , 3 … … 的 n-1 阶方程组。 (2) 按照(1)中的思路继续运算得到更为低阶的方程组。 (3) 经过 n-1 步的消元后,得到一个三角方程。 (4) 利用求解公式回代得到线性方程组的解。 根据这个思路编写 matlab 程序如下:
function x=gauss(n) disp('请输入构造的矩阵的阶数(10/20)') n=input(''); disp('构造矩阵为A=') A = diag(6*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1) disp('由A构造出矩阵b=') b = A*ones(n,1) [m,n]=size(A); disp('增广矩阵为:') Ab=[A b] for i=1:n-1 yuan=Ab(i,i);
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(1)

华中科技大学数值分析实验报告(实验 6.1)

for k=i+1:n Ab(k,i:(n+1))=Ab(k,i:(n+1))-(Ab(k,i)/yuan)*Ab(i,i:(n+1)); end disp(Ab); pause end x=zeros(n,1); x(n)=Ab(n,(n+1))/Ab(n,n); for i=n-1:-1:1 x(i)=(Ab(i,(n+1))-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i); end

取 n=10 运行的结果为:Ab =
6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 7 15 15 15 15 15 15 15 15 14

消去结束后的矩阵为:

解得线性方程组的解为: ans = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 取 n=20 运行的结果为:Ab =

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消去结束后的矩阵为:

解得线性方程组的解为: ans = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00001.0000 2 采用列选主元消去法进行计算 在采用 Gauss 消去法的时候,主元绝对值的大小将影响到计算结果,主元的 绝对值越大,算法的稳定性越好。列选主元消去法 matlab 程序的计算思路为:
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(1)先构造需要计算的矩阵,得到增广矩阵 Ab。 (2)将系数矩阵 A 的每一列的绝对值最大的元素换至对角线上,矩阵 b 中的元 素也随之改变,先判断主元是否为 0。然后利用此主元逐行消去此主元所在的列 中的元素,矩阵 b 中的元素也随之改变。 (3)经过 n-1 步运算过后,矩阵 A 就变换成为一个三角矩阵。 。 (4)逐次回代,就能计算出方程组的解。 分别每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元和每步消去过程总选取 按模最小的元素作为主元选取列选主元消去法的 matlab 程序为:
function x=gauss(n) disp('请输入构造的矩阵的阶数(10/20)') n=input(''); disp('构造矩阵为A=') A = diag(6*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1) disp('由A构造出矩阵b=') b = A*ones(n,1) [m,n]=size(A); disp('增广矩阵为:') Ab=[A b] for i=1:n-1 if way==1 i=i disp('输入每一列的主元所在的行') hang=input(''); Ab([i hang],:)=Ab([hang i],:); disp(Ab); pause end zhuyuan=Ab(i,i); for k=i+1:n Ab(k,i:(n+1))=Ab(k,i:(n+1))-(Ab(k,i)/zhuyuan)*Ab(i,i:(n+1)); end disp(Ab); pause end x=zeros(n,1); x(n)=Ab(n,(n+1))/Ab(n,n); for i=n-1:-1:1 x(i)=(Ab(i,(n+1))-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i); end

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(i):每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元: 取 n=10 手动执行该程序: 消去结束后的矩阵为:

解得线性方程组的解为: ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 取 n=20 运行的结果为:Ab =

解得线性方程组的解为:
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ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0 0001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 (ii)每步消去过程总选取按模最小的元素作为主元: 取 n=10 手动执行该程序: 消去结束后的矩阵为:

解得线性方程组的解为: ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 取 n=20 运行的结果为: 消去结束后的矩阵为:

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解得线性方程组的解为: ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0 0001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 由上述两种选取主元的方法比较可知, 采用每一步消去过程总选取按模最大或按 模尽可能大的元素作为主元的选取方法最终得到的方程组的解更加精确, 这是因 为在计算过程中人为的避免了大数除小数而造成的误差的扩大, 而每一步消去过 程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元的选取方法最终得到的解会 有误差,而误差的产生就是由于上诉原因而造成了。所以在实际计算过程中,必 须考察计算模型的可行性。

3 采用全选主元消去进行计算 全选主元和列选主元消去法的区别在于全选主元不仅要用到列选主元,而且 需要行选绝对值最大的元, 这样的麻烦之处就在于不仅需要进行线性方程顺序的 变换, 而且在解方程的过程中未知数的顺序也发生了相应的改变,这就给程序的 编写和运算的时间的上带来了很大的麻烦。全选主元消去法的基本思路为:
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(1)先构造需要计算的矩阵,得到增广矩阵 Ab (2)将每次更新后系数矩阵的每一列的绝对值最大的元素换至对角线上(绝对 值最大的元素必须在对角线的下方) ,矩阵 b 中的元素也随之改变。 (3)然后将更新后系数矩阵的每行中的绝对值最大元素换至对角线上(该绝对 值最大元素必须要在主元的右侧) 。先判断主元是否为 0,然后利用此主元逐行 消去此主元所在的列中的元素,矩阵 b 中的元素也随之改变。 (4)经过 n-1 步运算过后,矩阵 A 就变换成为一个三角矩阵。 。 (5)逐次回代,就能计算出方程组的解。 采用全选主元Gauss消去法编写的matlab程序为:
function x=gauss(n) disp('请输入构造的矩阵的阶数(10/20)') n=input(''); disp('构造矩阵为A=') A = diag(6*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1) disp('由A构造出矩阵b=') b = A*ones(n,1) [m,n]=size(A); disp('增广矩阵为:') Ab=[A b] for i=1:n-1 zhuyuan = max(max(abs(A(i:n,i:n)))); for r = i:n for t = i:n ifzhuyuan == abs(A(r,t)) zhuhang = r; zhulie = t; end end end ph = A(i,:); A(i,:) = A(zhuhang,:); A(zhuhang,:) = ph; b = b'; bb = b(i); b(i) = b(zhuhang); b(zhuhang) = bb; b = b'; pl = A(:,i); A(:,i) = A(:,zhulie); A(:,zhulie) = pl;
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Ab = [A,b]; zhuyuan = Ab(i,i); for k=i+1:n Ab(k,i:(n+1))=Ab(k,i:(n+1))-(Ab(k,i)/zhuyuan)*Ab(i,i:(n+1)); end A = Ab(:,[1:n]); b = Ab(:,[(n+1)]); disp(Ab); pause end x=zeros(n,1); x(n)=Ab(n,(n+1))/Ab(n,n); for i=n-1:-1:1 x(i)=(Ab(i,(n+1))-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i); end

取 n=10 手动执行该程序: 消去结束后的矩阵为:

解得线性方程组的解为: ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 取 n=20 运行的结果为:Ab =

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解得线性方程组的解为: ans =

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.000 01.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 根据消去后的矩阵的可以看出:全选主元消去得到的矩阵十分稳定。因此全 选主元的的稳定性和精确程度都比列选主元的方法得到的要高。 4 实验总结 通过本次实验可以看出,matlab 程序的编写复杂程度来看:普通 Gauss 消去法的编写最简单, 只需要通过简单的运算就可以得到需要的计算的结果,采 用列选主元的办法进行 gauss 消去的程序略微比普通 Gauss 消去法难度大,由于 增加了需要选取主元的过程, 而全选主元由于涉及到换行换列,程序的编写比价 麻烦,三种算法的在执行速度来看,也是十分明显地可以看出:普通 Gauss 消去 <列选主元消去<全选主元消去。而从计算的结果来看,普通 Gauss 消去法明显 比列选主元消去的稳定性差, 而全选主元的稳定性只是略微的相对于列选主元好
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华中科技大学数值分析实验报告(实验 6.1)

一些。在实际的应用中,在精度要求和稳定性要求不是特别高的情况下,采用列 选主元消去法已经能够满足在实际工程中的需要, 由于全选主元在运算上不太占 优势,所以很少使用来进行计算。在很多各个元之间的差距很小的情况下,采用 普通的 Gauss 消去法也可以达到比较理想的结果。 通过这次数值分析实验,使我加深了对 Gauss 消去求解线性方程组的理解, 掌握了利用各种方法进行 Gauss 消元解线性方程组, 熟悉了 matlab 的有关函数。 我相信,在我以后的科研生涯和工作中,Gauss 消去法求解线性方程组会作为一 种强有力的工具帮助我解决各种实际问题。

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