高中数学公式与定理大全

发布于:2021-11-28 04:07:58

高中数学公式与定理 大全
数学公式 抛物线:y = ax *+ bx + c 就是 y 等于 ax 的*方加上 bx 再加上 c a > 0 时开口向上 a < 0 时开口向下 c = 0 时抛物线经过原点 b = 0 时抛物线对称轴为 y 轴 还有顶点式 y = a(x+h)* + k 就是 y 等于 a 乘以(x+h)的*方+k -h 是顶点坐标的 x k 是顶点坐标的 y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在 x 的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为 x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上 四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式: S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半 轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率 T,但这两个公式都是通过 椭圆周率 T 推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*PAI*高 三角函数:

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 · 万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不相等的个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根 公式分类 公式表达式 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 图形周长 面积 体积公式 长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积 已知三角形底 a,高 h,则 S=ah/2 已知三角形三边 a,b,c,半周长 p,则 S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海伦公式) (p=(a+b+c)/2) 和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4 已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C,则 S=absinC/2 设三角形三边分别为 a、b、c,内切圆半径为 r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 设三角形三边分别为 a、b、c,外接圆半径为 r 则三角形面积=abc/4r 已知三角形三边 a、b、c,则 S= √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求 积” 南宋秦九韶) |ab1| S△=1/2 * | c d 1 | |ef1| 【| a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形 ABC 在*面直角坐标系内 A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里 ABC |ef1|

选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取, 因为这样取得出的结果一般都为正 值, 如果不按这个规则取, 可能会得到负值, 但不要紧, 只要取绝对值就可以了, 不会影响三角形面积的大小!】 秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中 Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长. *行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷ 2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷ 3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高 *面图形 名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a—边长 C=4a S=a2 长方形 a 和 b-边长 C=2(a+b) S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a 边上的高 s-周长的一半 A,B,C-内角 其中 s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2?sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) 数学定理 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 *行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线*行 8 如果两条直线都和第三条直线*行,这两条直线也互相*行 9 同位角相等,两直线*行 10 内错角相等,两直线*行 11 同旁内角互补,两直线*行 12 两直线*行,同位角相等 13 两直线*行,内错角相等 14 两直线*行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等 27 定理 1 在角的*分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的*分线上 29 角的*分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的*分线*分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角*分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所 对的边也相等(等角对等边) 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° 那么它所对的直角边等于斜边的 一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直*分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直*分线上 41 线段的垂直*分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直 *分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相 交,那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直*分, 那么这两个图 形关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的*方和、等于斜边 c 的*方,即 a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a^2+b^2=c^2 , 那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)×180° 51 推论 任意多边的外角和等于 360° 52 *行四边形性质定理 1 *行四边形的对角相等 53 *行四边形性质定理 2 *行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条*行线间的*行线段相等 55 *行四边形性质定理 3 *行四边形的对角线互相*分 56 *行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是*行四边形 57 *行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是*行四边形 58 *行四边形判定定理 3 对角线互相*分的四边形是*行四边形 59 *行四边形判定定理 4 一组对边*行相等的四边形是*行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的*行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线*分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半,即 s=(a×b)÷2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的*行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直*分,每条对 角线*分一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对 称中心*分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点*分,那 么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形

78 *行线等分线段定理 如果一组*行线在一条直线上截得的线段相等, 那么 在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底*行的直线,*椒至硪谎 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边*行的直线,*椒值谌 81 三角形中位线定理 三角形的中位线*行于第三边,并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线*行于两底,并且等于两底和的一半 l= (a+b)÷ s=l×h 2 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果 a/b=c/d,那么(a± b)/b=(c± d)/d 85 (3)等比性质 如果 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m) /(b+d+…+n)=a/b 86 *行线分线段成比例定理 三条*行线截两条直线,所得的对应线段成比 例 87 推论 *行于三角形一边的直线*渌奖撸ɑ蛄奖叩难映は撸玫 对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例,那么这条直线*行于三角形的第三边 89 *行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三 边与原三角形三边对应成比例 90 定理 *行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所 构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(asa) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(sas) 94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(sss) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角*分线的比都 等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的*方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值, 任意锐角的余切值等于它的余 角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直*分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的*分线

108 到两条*行线距离相等的点的轨迹, 是和这两条*行线*行且距离相等的 一条直线 109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 垂直于弦的直径*分这条弦并且*分弦所对的两条弧 111 推论 1 ①*分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且*分弦所对的两条 弧 ②弦的垂直*分线经过圆心,并且*分弦所对的两条弧 ③*分弦所对的一条弧的直径,垂直*分弦,并且*分弦所对的另一条弧 112 推论 2 圆的两条*行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所 对的弦的弦心距相等 115 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心 距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧也相等 118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所 对的弦是 直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直 角三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 121①直线 l 和⊙o 相交 d<r ②直线 l 和⊙o 相切 d=r ③直线 l 和⊙o 相离 d>r 122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这 一点的连线*分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 131 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积相等 134 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d>r+r ②两圆外切 d=r+r ③两圆相交 r-r<d<r+r(r>r) ④两圆内切 d=r-r(r>r) ⑤两圆内含 d<r-r(r>r) 136 定理 相交两圆的连心线垂直*分两圆的公共弦 137 定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线, 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切 正 n 边形 138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)×180° /n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积√3a/4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360° ,因此 k×(n-2)180° /n=360° 化为(n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式:l=nπr/180 145 扇形面积公式:s 扇形=nπr2/360=lr/2 146 内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r) 147 等腰三角形的两个底脚相等 148 等腰三角形的顶角*分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 149 如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 150 三条边都相等的三角形叫做等边三角形


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