洛必达法则应用的几点注意_论文

发布于:2021-10-16 19:13:51

第2 9卷 第 4期 ( 上)   2 0 1 3年 4月   赤 峰 学 院 学 报 (自 然 科 学 版 )   J o u na r l   o f   C h i f e n g   U n i v e r s i t y( N a t u r a l   S c i e n c e   E d i t i o n )   V o 1 . 2 9No . 4   Apr . 2 01 3   洛必达法则应用  的几点注意  梁海滨   ( 辽 宁对外 经 贸学院 ,辽 宁 摘 大连 1 1 6 0 5 2 )   要 :通过对洛必达法则条件的分析和几道 易错例题 的讲解 , 提 出了应用洛必达 法则的几点注意事项  文献标识码: A   文章 编 号 : 1 6 7 3 — 2 6 0 X( 2 0 1 3 ) 0 4 — 0 0 0 8 ~ 0 2   关 键 词 :洛 必 达 法 则 ; 应用 ; 极 限  中 图分 类 号 : 01 7 1   洛必达法则是 求未定式极 限的一种非 常有效 的方 法 ,   但 如果不深刻理解法 则条件则易出现错误.   预备知识 : 定理_ 1 _ (i) 若 当  a 时, 两个 函数 f ( x ) 和g   x   x 2 s i n   1   例 2  l i m —。—X _ _ 一 .   S I I I X  ( x ) 都趋 于零 ; ( i i ) 在点 a 的某去心邻域 内 f ’ ( x ) 与g ’ ( x ) 都 存在  且g ’( x ) ≠0 ; ( i i i )l i m   : 错 解所 求 极 限 属 于 罟 型 的 未 定 式 . 但 分 子 分 母 分 别   2 x s i nl _ 一 c o s   求导数后 , 将化为l i m   此式振荡 , 所以原式无  r叶 0   存在或为无穷大 ,则  r 时 , l j m   _ .   r+ a  g i x )   l i m  — .   极 限.   注~ : 此法则 中将 a 换成  也能成立 ;   法则也类似 .   注二 : 未定式 的其它类型 :   型的洛必达  分析 ( 1 ) 不满 足洛必达法则条件( i i i ) , 法则失效. ( 2 ) 洛  x _ + a  g t x )   必达法则是充分条件, 不 是必要条件. 即l i  掣 不存在 j  l i m 掣 不 存 在, 反 之, 则 不 一 定 成 立 . ( 3 ) 当 求 极 限 的 式 子 中   a  gI x  J   ( 1 ) 对于 0 ? 。 。型 , 可将乘积化为除的形 式 , 即化为  或  l l c   型 的未定式来 计算 .   存在没有极 限的有界 函数时 , 法则 可能会失效.   l i a xsi r n   1 正解 原  = l i m(   一_ x s i n  ) :   —   0_ — xl _ 0 :_ _ : 0.   ( 2 ) 对于 。 。 一   型, 可利用通分化为  型的未定式来计  算.   s l n x   l i m !  墨   l   类似的例题还有l i m   x + s mx等 , 其 中式子 中存在没有极  ( 3 ) 对于 0 o , 1   ,  。 型, 可先化 以 e为底的指数函数的极  限的有界函数 s i n x , 则法则失效.   例 3 设函数 f ( x ) 在 x = O可导且 f ( 0 ) = O , f t ( 0 ) = b , 若 函数 x )   f   f ( x ) + a " t a n x = . 限, 再利 用指数 函数 的连续性 , 化 为直接求指数 的极限 , 指  数 的极限为 0 ? 。 。的形式 , 再化为  或  t -   ∞  型的未定式来计  x≠ 0   算.   {   【   x   A .  在x = 0 处连续, 求常数 A .   x :0   注记 1 : 首先, 用洛必达法则求极 限时, 应看是 否满足洛  必达法则的条件 , 如不满足 , 则不能使用洛必达法则求解, 或  者说是法则失效; 其 次, 洛必达法 则只是充分条件 , 不是必要  条件 ; 再 次, 对 于  型 , 我们可 以弱化其条件 , 把条件 (i)   错解 因为 F ( X ) 在x = O 处连续甘l i m   F ( x ) : A   s ec Z x ~   故A = l i m   F ( X ) : l i m   f ( x ) + a ' t a n x: l i m ̄ ) + a . = f f 01 +a :a + b   中的两个 函数 f ( x ) 和g ( x ) 都趋于无穷 , 改成 只需  趋于无穷.   分析 ( 1 ) 题设里 只给 了函数 f ( x ) 在 x = 0可 导 , 没有假  例1求 l i m 车率±   x  l   X  一)  — x+ l   设f ( x ) 在x = O的邻域 内可导 , 不满足 洛必达法则 条件 ( i i ) ,   法则失效. ( 2 ) 题设 里也没给 f ( x ) 在x = O连续 , 则不 能说l i m   f   6 x =   6 =l   x 叶  1   。  x 叶1   OX- -  错解 : 原式 = l   i m_ 3 '   3 X 2   - 3   =   x _ +   1   j) r—  X— l   ( X ) = f ( 0 ) .   分 析 : 上 式 中 ,   l   o x —   已 不 是 告 U  ∞ 或 詈型  未 定 式 , 不 满   足洛必达法则条件(i) , 法则失效

相关推荐

最新更新

猜你喜欢